Улица расположена в 304-м микрорайоне Первомайского округа Мурманска. Свое имя она получила 20 февраля 1956 года к 75-летию со дня смерти великого писателя. До этого дня это была улица И.М. Сивко. Свой современный вид улица Достоевского приобрела в 1976-1980 годах, в этот период были построены более двух десятков девятиэтажных домов.
Во время строительства пошли под снос склады облыроболовпотребсоюза, баня, овощехранилище и другие ставшие ненужными строения. Своим фасадом улица обращена к Кольскому заливу, сзади к ней подступили сопки. В 2014 году на улице началось возведение 16-этажного жилого дома, который сейчас прекрасно виден с Прибрежной дороги и с залива.
В 1982 году введен в эксплуатацию мост (путепровод над железной дорогой), соединивший улицу Достоевского с Прибрежной дорогой, и жителям стало намного проще добираться до центральной части города.
11 ноября 2007 года на заросшем пустыре в Первомайском округе, в районе перекрестка улиц Достоевского и Баумана, освящен Приход Святого Михаила Архангела Римско-католической церкви. Его сооружали в 2006-2007 годах. Пожалуй, это единственное строение на улице, способное заинтересовать гостей нашего города.
"Лихие девяностые" оставили свой след в истории улицы. 31 марта 1994 года здесь было совершено убийство криминального авторитета, мастера спорта по боксу Спартака Барановского (кличка Спартак). Убийца вошел вслед за ним в подъезд дома на улице Достоевского, и на лестничной площадке первого этажа открыл стрельбу. Затем киллер вышел из подъезда, сел в поджидавшую его машину и уехал. Через сутки Спартак, получивший две пули в голову, скончался, не приходя в сознание.
Барановский был известным спортсменом, единственным профессиональным боксером в Мурманске. Однако исключительно спортивными достижениями он решил не ограничиваться, сколотив собственную бригаду из знакомых спортсменов.
