Улица получила свое имя 10 февраля 1956 года в честь русского писателя и вольнодумца Александра Николаевича Радищева. Начинается она от пересечения улиц Книповича, Планерной и Рогозерской. Северная часть улицы доходит до Варничного ручья, затем проходит вдоль корпусов областной больницы и в южной части уходит по склону до улицы Генерала Фролова.
Долгие годы на улице кроме СИЗО и дома для военнослужащих ничего не было. Лишь в начале 60-х годов прошлого века появились здания судебно-медицинской экспертизы, милицейское общежитие и жилой четырехэтажный дом. Позднее появились пяти- и девятиэтажные дома, проезжая часть была приведена в надлежащий вид.
1 октября 1965 г. В доме 76, был открыт детский сад №82. В 1984 г. был перепрофилирован в специализированное дошкольное учреждение для детей с нарушением зрения.
1 декабря 1968 года начал действовать новый троллейбусный маршрут №3 от улицы Радищева до улицы Гаджиева. Маршрут продолжает работать и в наши дни. Участок улицы Радищева напротив областной больницы, где рядышком располагались морг, следственный изолятор и медвытрезвитель, мурманчане в шутку назвали Бермудским треугольником. И в самом деле, там тоже пропадали люди… Кроме того, в зданиях на пересечении с улицей Павлова разместились салоны и мастерские ритуальных услуг.
31 июля 2001 года на территории следственного изолятора освящена деревянная часовня Иконы Божией Матери «Казанская». А в январе 2014 года в этом же СИЗО, помощник начальника караула случайно выстрелил в своего коллегу из пистолета Макарова. Пуля попала в бедро и пострадавшего госпитализировали в областную больницу.
Последнее значимое событие, связанное с этой улицей - открытие 27 декабря 2018 года гипермаркета торговой сети «Лента». Он расположен по адресу: ул. Радищева, д. 2. Торговая площадь магазина составила 5470 кв.м.
